7. 최단 경로 알고리즘 - 플로이드 워셜(Floyd-Warshall)

플로이드 워셜 알고리즘

• 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산한다.
• 플로이드 워셜(Floyd-Warshall) 알고리즘은 다익스트라 알고리즘과 마찬가지로 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행한다.
  • 다만 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요하지 않다.
• 플로이드 워셜은 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장한다.
• 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍 유형에 속한다.

노드의 갯수가 적은 경우에서 효과적으로 사용할 수 있으며, 노드 및 간선의 개수가 많은 경우에는 일반적으로 다익스트라 알고리즘을 사용해야하는 경우가 많다.

플로이드 워셜 알고리즘

• 각 단계마다 특정한 노드 k를 거쳐 가는 경우를 확인한다.
  • a에서 b로 가는 최단 거립다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사한다.
• 점화식은 다음과 같다.
  

플로이드 워셜 알고리즘: 동작 과정

• [초기 상태] 그래프를 준비하고 최단 거리 테이블을 초기화한다.
  • 기본 점화식: Dab = min(Dab, Dak + Dkb)

• [Step 1] 1번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.
  • 점화식: Dab = min(Dab, Da1 + D1b)

• [Step 2] 2번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.
  • 점화식: Dab = min(Dab, Da2 + D2b)

• [Step 3] 3번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.
  • 점화식: Dab = min(Dab, Da3 + D3b)

• [Step 4] 4번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.
  • 점화식: Dab = min(Dab, Da4 + D4b)

플로이드 워셜 알고리즘

플로이드 워셜 문제는 노드의 개수가 500개가 안넘도록 설정하는 경우가 많다.

public class FloydWarshall {

    private static final int INF = (int) 1e9; // 무한을 의미하는 값으로 10억을 의미

    // 노드의 개수 (N), 간선의 개수 (M)
    // 노드의 개수는 최대 500개라고 가정
    private static int n, m;

    // 2차원 배열(그래프 표현)를 만들기
    private static int[][] graph = new int[501][501];

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        n = sc.nextInt();
        m = sc.nextInt();

        // 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
        for (int i = 0; i < 501; i++) {
            Arrays.fill(graph[i], INF);
        }

        // 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            graph[i][i] = 0;
        }

        // 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            // A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
            int a = sc.nextInt();
            int b = sc.nextInt();
            int c = sc.nextInt();
            graph[a][b] = c;
        }

        // 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
        for (int k = 1; k <= n; k++) {
            for (int a = 1; a <= n; a++) {
                for (int b = 1; b <= n; a++) {
                    graph[a][b] = Math.min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b]);
                }
            }
        }

        // 수행된 결과를 출력
        for (int a = 1; a <= n; a++) {
            for (int b = 1; b <= n ; b++) {
                // 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
                if (graph[a][b] == INF) {
                    System.out.print("INFINITY ");
                    continue;
                }

                System.out.print(graph[a][b] + " ");
            }
            System.out.println();
        }
    }
}

플로이드 워셜 알고리즘 성능 분석

• 노드의 개수가 N개일 때 알고리즘상으로 N번의 단계를 수행한다.
  • 각 단계마다 O(N^2)의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로를 고려한다.
• 따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 총 시간 복잡도는 O(N^3)이다.