8. 위상 정렬

공부할 내용

1. 서로소 집합
2. 신장 트리
   • 크루스칼 알고리즘
3. 위상 정렬

공부 방법

• 기타 그래프 이론 - 동빈나 영상 시청 및 정리
• 이것이 코딩테스트다 책 참고
• 추천문제 풀기 (블로그에 문제 풀이를 게시하지는 않겠음)

위상 정렬

• 사이클이 없는 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것을 의미한다.
• 예시) 선수과목을 고려한 학습 순서 설정

• 위 세 과목을 모두 듣기 위한 적절한 학습 순서는?
  • 자료구조 -> 알고리즘 -> 고급 알고리즘 (O)
  • 자료구조 -> 고급 알고리즘 -> 알고리즘 (X)

진입차수와 진출차수

• 진입차수(Indegree): 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수
• 진출차수(Outdegree): 특정한 노드에서 나가는 간선의 개수

위상 정렬 알고리즘

• 큐를 이용하는 위상 정렬 알고리즘의 동작 과정은 다음과 같다.
  1. 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다.
  2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
     1) 큐에서 원소를 꺼내 해당 노으데서 나가는 간선을 그래프에서 제거한다.
     2) 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.

결과적으로 각 노드가 큐에 들어온 순서가 위상 정렬을 수행한 결과와 같다.

위상 정렬 동작 예시

• 위상 정렬을 수행할 그래프를 준비한다.
  • 이때 그래프는 사이클이 없는 방향 그래 (DAG)여야 한다.**
  • 만약 사이클이 존재한다면, 그 사이클에 포함되어있는 모든 노드는 진입차수가 1이 된다.
    • 즉 사이클에 포함되어있는 모든 노드는 큐에 들어갈 수 없기 때문에 위상정렬을 수행할 수 없다.

• [초기 단계] 초기 단계에서는 **진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다.

  • 처음에 노드 1이 큐에 삽입된다.
    
    (노드2 -> 노드6 으로 가는 화살표를 실수로 생략했습니다. 있다고 가정해주세요!)

• [Step 1] 큐에서 **노드 1을 꺼낸 뒤에 노드 1에서 나가는 간선을 제거한다.

  • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다.

• [Step 2] 큐에서 **노드 2를 꺼낸 뒤에 노드 2에서 나가는 간선을 제거한다.
  • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다.
  • 동시에 여러 노드가 큐에 들어갈 수도 있는데, 사실 어떤 노드가 먼저 들어가든 크게 상관없다.

• [Step 3] 큐에서 **노드 5를 꺼낸 뒤에 노드 5에서 나가는 간선을 제거한다.
  • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 삽입한다.

• [Step 4] 큐에서 **노드 3를 꺼낸 뒤에 노드 3에서 나가는 간선을 제거한다.
  • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드가 없으므로 그냥 넘어간다.

• [Step 5] 큐에서 **노드 6를 꺼낸 뒤에 노드 6에서 나가는 간선을 제거한다.
  • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 삽입한다.

• [Step 6] 큐에서 **노드 4를 꺼낸 뒤에 노드 4에서 나가는 간선을 제거한다.
  • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 삽입한다.

• [Step 7] 큐에서 **노드 7를 꺼낸 뒤에 노드 7에서 나가는 간선을 제거한다.
  • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드가 없으므로 그냥 넘어간다.

• **[위상 정렬 결과]
  • 큐에 삽입된 전체 노드 순서: 1 -> 2 -> 5 -> 3 -> 6 -> 4 -> 7

위상 정렬의 특징

• 위상 정렬은 DAG에 대해서만 수행할 수 있다.
  • DAG(Direct Acyclic Graph): 순환하지 않는 방향 그래프
• 위상 정렬에서는 여러 가지 답이 존재할 수 있다.
  • 한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우가 있다면 여러 가지 답이 존재한다.
• 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있다.
  • 사이클에 포함된 원소 중에서 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못한다.
• 스택을 활용한 DFS를 이용해 위상 정렬을 수행할 수도 있다.

위상 정렬 알고리즘

// 위상정렬
public class TopologicalSorting {

    // 노드의 개수(V)와 간선의 개수(E)
    // 노드의 개수는 최대 100,000개라고 가정
    private static int v, e;

    // 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
    private static int[] indegree = new int[100001];

    // 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
    private static List<List<Integer>> graph = new ArrayList<>();

    // 위상 정렬 함수
    public static void topologySort() {
        List<Integer> result = new ArrayList<>(); // 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
        Deque<Integer> q = new ArrayDeque<>();

        // 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
        for (int i = 1; i <= v; i++) {
            if (indegree[i] == 0) {
                q.offer(i);
            }
        }

        // 큐가 빌 때까지 반복
        if (!q.isEmpty()) {
            // 큐에서 원소 꺼내기
            int now = q.poll();
            result.add(now);

            //해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
            for (int i = 0; i < graph.get(now).size() ; i++) {
                indegree[graph.get(now).get(i)]--;

                // 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
                if (indegree[graph.get(now).get(i)] == 0) {
                    q.offer(graph.get(now).get(i));
                }
            }
        }

        // 위상 정렬을 수행한 결과 출력
        for (int i = 0; i < result.size(); i++) {
            System.out.print(result.get(i) + " ");
        }
        System.out.println();
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        v = sc.nextInt();
        e = sc.nextInt();

        // 그래프 초기화
        for (int i = 0; i <= v; i++) {
            graph.add(new ArrayList<>());
        }

        // 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
        for (int i = 0; i < e; i++) {
            int a = sc.nextInt();
            int b = sc.nextInt();

            graph.get(a).add(b); // 정점 A에서 B로 이동 가능
            // 진입 차수를 1 증가
            indegree[b]++;
        }

        topologySort();
    }
}

위상 정렬 알고리즘 성능 분석

• 위상 정렬을 위해 차례대로 모든 노드를 확인하며 각 노드에서 나가는 간선을 차례대로 제거해야 한다.
  • 위상 정렬 알고리즘의 시간 복잡도는 O(V + E) 이다.